Résolution de problèmes : ce qu’on oublie d’enseigner

6 sept.

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Dernière mise à jour : 24 sept.

Dans un contexte de résolution de problème, un élève fait des essais. L’enseignant observe, rassuré : la recherche est en cours. Mais que se passe-t-il vraiment entre deux essais ? Pour le savoir, Stéphane Favier a mené sa thèse dans des classes genevoises. Elle révèle que la capacité à ajuster, pourtant au cœur de nombreuses situations de résolution de problèmes, n'est presque jamais enseignée. Et qu’elle ne s’acquiert pas spontanément, même avec les années.

Une scène familière

Imaginez une classe de primaire. L’enseignant vient de poser ce problème :

« Chaque carte de mon jeu représente soit un triangle, soit un carré. Je tire au hasard 15 cartes. Je compte tous les côtés des figures et je trouve 49. Combien ai-je tiré de triangles et de carrés ? »

Les élèves s’y mettent. Certains dessinent des triangles et des carrés, comptent les côtés, obtiennent 48, pas 49. Ils recommencent. Ils obtiennent 51. Ils recommencent encore. L’enseignant circule, voit des feuilles couvertes d’essais, et se dit que ça cherche et c’est bien.

Mais… cherche-t-on vraiment ? Est-ce une suite de recommencements, ou un construit progressif ?

C’est une des questions qu’a voulu creuser l'auteur. Il a équipé des groupes d’élèves de caméras embarquées sur la tête, capturant en temps réel tout ce qu’ils voyaient, disaient, écrivaient, et même effaçaient. Trente-trois groupes, six classes, trois niveaux scolaires : 4P (7-8 ans), 8P (11-12 ans) et 10H du Cycle d’Orientation (13-14 ans).

Ce qu’il a analysé donne à réfléchir : entre 8 et 14 ans, la façon de chercher ne progresse quasiment pas.

Essayer n’est pas ajuster

Pourquoi ? Une des réponses avancées dans la thèse tient à la différence entre essayer et ajuster.

Un essai, c’est une tentative de solution. L’élève choisit une combinaison, disons 10 triangles et 5 carrés, et la confronte aux données du problème. Il obtient un résultat. Jusque-là, tout va bien.

Ce qui compte, c’est ce qui se passe ensuite. Le résultat obtenu contient une information précieuse : un écart. Si j’obtiens 50 côtés (5 carrés + 10 triangles) au lieu de 49, cet écart me dit quelque chose sur la direction à prendre. Remplacer un carré par un triangle diminue le nombre de côtés d’un, donc c’est dans ce sens qu’il faut ajuster. D’ailleurs, ce type de règles est évident pour l’enseignant mais n’est pas forcément à disposition chez tous les élèves. Ajuster, c’est interpréter cet écart et s’en servir pour construire le prochain essai de façon raisonnée, et non au hasard.

Or c’est précisément cette interprétation de l’écart entre le résultat obtenu et celui visé, que la plupart des élèves observés par le chercheur ne réalisent pas. Beaucoup produisent des essais successifs sans les relier entre eux. Ils recommencent plutôt qu’ils n’ajustent. Et cette difficulté ne disparaît pas avec l’âge ni avec la progression scolaire, parce que personne ne l’a jamais rendue visible comme objet d’apprentissage.

Le terme essais-erreurs, utilisé pour désigner cette démarche, porte d’ailleurs une part de responsabilité et suggère que l’erreur est une fatalité, voire un aveu d’échec, là où la thèse montre que c’est précisément l’exploitation de l’écart entre le résultat obtenu et celui visé qui fait défaut. Si l'élève traite l'erreur comme une information à éliminer plutôt qu’à interpréter, la démarche d'ajustement devient inaccessible.

Le Plan d’études romand a fait un choix de vocabulaire plus juste en parlant d’ajustements d’essais successifs (MSN33). L’aide-mémoire (édition 2024) y consacre un chapitre spécifique. Mais un mot ne suffit pas à créer un enseignement. Si l’ajustement reste implicite dans les classes, le terme ne change rien à la réalité observée.

Trois gestes pour l’enseignant

Les conclusions de la thèse ne restent pas au niveau du constat. Elles pointent des endroits précis où l’enseignant peut agir.

Déplacer son attention. Plutôt que d’imposer sa propre représentation du problème, laisser les élèves rentrer dans le problème avec leur propre représentation. Pour les élèves qui bloquent, une première piste pour l’enseignant est de vérifier si ces élèves ne se rajoutent pas des contraintes supplémentaires par rapport à celles de l’énoncé. Un autre point d’observation du travail des élèves est ce qu’ils font entre deux essais. C’est pourtant là que se situe la difficulté centrale : est-ce que l’élève regarde ce que son résultat lui dit ? Et surtout, comment l’interprète-t-il ? Ou produit-il un nouvel essai déconnecté du précédent ? La recherche montre que de nombreux groupes d’élèves entrent dans le problème sans difficulté. Ce n’est pas la compréhension de l’énoncé qui bloque, c’est l’exploitation de la rétroaction ou du retour du milieu.
Nommer l’ajustement. Poser explicitement la question : « Qu’est-ce que ton résultat t’apprend pour le prochain essai ? » plutôt que « Essaie autre chose. » La différence est fondamentale. La première question pointe vers l’interprétation de l’écart et oblige l’élève à rendre visible son raisonnement. La seconde le laisse seul face à un nouvel essai sans filet - et c’est souvent ce qui se passe dans les classes observées.
Institutionnaliser la démarche, pas seulement la solution. À l’issue d’un problème, ne pas se contenter de valider la réponse correcte. Prendre le temps de revenir collectivement sur la démarche, quels ajustements ont été efficaces, pourquoi ? C'est ce qui permet de dépasser l'anecdote de la séance pour faire de l'ajustement un objet d'apprentissage à part entière.

En tant qu'enseignant·e, on peut supposer que les élèves qui font des essais apprennent naturellement à ajuster. Les résultats de la recherche présentée amènent à reconsidérer cette intuition : l'ajustement ne s'acquiert pas par exposition répétée, il nécessite un enseignement explicite.

À tester - les trois problèmes de la recherche

Ces problèmes, utilisés dans la recherche, ne figurent pas dans les MER :

4P - Le jeu de cartes : 15 cartes (triangles ou carrés), 49 côtés au total. Combien de chaque ?

8P - Dragons et compagnie : 20 têtes, 72 pattes, 30 ailes (perroquets, crocodiles, dragons). Combien de chaque ?

10H - Ballon d’essai : deux commandes de ballons (rugby, basket, foot) avec prix total connu. Quel est le prix de chaque ballon ?

Et si l’ajustement était un savoir ?

La résolution de problèmes est une visée explicite du PER romand depuis le début de la scolarité. Elle est présentée comme un moyen de « construire et mobiliser des démarches et des raisonnements propres aux mathématiques ». Mais si les élèves ne progressent pas dans leur capacité à ajuster entre la 4P et la 10H, c’est peut-être parce que la démarche elle-même n’a jamais été enseignée - seulement pratiquée.

Ces résultats amènent S. Favier à formuler une question qui, me semble-t-il, dépasse le seul cadre de la didactique des mathématiques : si des élèves de 13-14 ans ne font pas mieux que des élèves de 7-8 ans dans leur capacité à exploiter l'écart entre un résultat obtenu et un résultat attendu pour orienter leur essai suivant, est-ce parce que cette capacité n'a jamais fait l'objet d'un enseignement explicite et ce, quelle que soit la discipline ?

Amine Slim

Ressources / Pour aller plus loin :

Favier, S. (2022). Étude des processus de résolution de problèmes par essais et ajustements en classe de mathématiques à Genève. Thèse de doctorat, Université de Genève. [open access : https://archive-ouverte.unige.ch/unige:159466]
Chanudet, M. & Favier, S. (2024). La résolution de problèmes comme objet ou moyen d’enseignement. UGA Éditions.
Pólya, G. (1957/1989). Comment poser et résoudre un problème. Gabay. [texte fondateur sur « l’art de deviner »]